Números Complexos e Coordenadas Polares

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Era uma vez, os matemáticos mergulharam em suas imaginações e inventaram todo um novo conjunto de números. Eles precisavam desses números para poderem terminar alguns problemas matemáticos – problemas em que a raiz quadrada de um número negativo ocorria.

Campos como engenharia, eletricidade e física quântica usam números imaginários em suas aplicações cotidianas. Um número imaginário é basicamente a raiz quadrada de um número negativo. A unidade imaginária, denotada i, é a solução para a equação 2 = –1.

Um número complexo pode ser representado na forma a + bi, onde a e b são números reais e idenota a unidade imaginária. No número complexo a + bi, a é chamada de parte real eb é chamada de parte imaginária. Os números reais podem ser considerados um subconjunto dos números complexos que têm a forma a + 0 i. Quando a é zero, então 0 + bi é escrito simplesmente como bi e é chamado de número imaginário puro.

Como realizar operações com números complexos e gráficos

Números complexos na forma a + bi podem ser representados graficamente em um plano de coordenadas complexo. Cada número complexo corresponde a um ponto ( a, b ) no plano complexo. O eixo real é a linha no plano complexo que consiste nos números que possuem uma parte imaginária zero: a + 0 i. Cada número real grava em um único ponto no eixo real. O eixo imaginário é a linha no plano complexo que consiste nos números que têm uma parte real zero: 0 + bi. A figura mostra vários exemplos de pontos no plano complexo.

Adicionar e subtrair números complexos é apenas outro exemplo de coleta de termos semelhantes: você pode adicionar ou subtrair apenas números reais e adicionar ou subtrair apenas números imaginários.

Ao multiplicar números complexos, você FOLHA os dois binômios. Tudo o que você precisa fazer é lembrar que a unidade imaginária é definida de tal forma que 2 = –1, portanto, sempre que você vir 2em uma expressão, substitua-a por –1. Ao lidar com outros poderes de i, observe o padrão aqui:

Isso continua dessa maneira para sempre, repetindo em um ciclo a cada quatro potências. Para encontrar um poder maior de i, em vez de contar para sempre, perceba que o padrão se repete. Por exemplo, para encontrar 243 , divida 4 em 243 e você obtém 60 com um resto de 3. O padrão será repetido 60 vezes e, em seguida, você terá 3 sobrando, então eu 243 = 240 × 3 = 1 × 3 , que é – i .

conjugado de um número complexo a + bi é a – bi e vice-versa. Quando você multiplica dois números complexos que são conjugados um do outro, você acaba com um número real puro:

a + bi ) ( a – bi ) = 2 – abi + abi – 2

Combinando termos semelhantes e substituindo 2 por –1: = 2 – 2 (–1) = 2 + 2

Lembre-se de que as barras de valor absoluto que contêm um número real representam a distância. No caso de um número complexo, | a + bi | representa a distância do ponto até a origem. Esta distância é sempre o mesmo que o comprimento da hipotenusa do triângulo rectângulo desenhado quando liga o ponto para o x – e y -axes.

Ao dividir números complexos, você multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado. Se a raiz quadrada de um número estiver envolvida, você estará racionalizando o denominador.

Em geral, um problema de divisão envolvendo números complexos se parece com isso:

Rodada de um polo: como representar graficamente as coordenadas polares

Até agora, suas experiências gráficas podem ter sido limitadas ao sistema de coordenadas retangulares. O sistema de coordenadas retangulares recebe esse nome porque é baseado em duas linhas numéricas perpendiculares entre si. Agora é hora de levar esse conceito adiante e introduzir coordenadas polares.

Nas coordenadas polares, cada ponto está localizado em torno de um ponto central, chamado de pólo, e é denominado ( r , n θ ). r é o raio, e θ é o ângulo formado entre o eixo polar (pense nisso como o que costumava ser o eixo x positivo ) e o segmento que conecta o ponto ao pólo (o que costumava ser a origem).

Nas coordenadas polares, os ângulos são rotulados em graus ou radianos (ou ambos). A figura mostra o plano de coordenadas polares.

Observe que um ponto no plano de coordenadas polares pode ter mais de um nome. Porque você está se movendo em um círculo, você sempre pode adicionar ou subtrair 2π a qualquer ângulo e acabar no mesmo ponto. Esse é um conceito importante ao representar graficamente equações em formas polares, portanto, essa discussão irá abranger bem.

Quando o raio e o ângulo são positivos, o ângulo se move no sentido anti-horário. Se o raio for positivo e o ângulo for negativo, o ponto se moverá no sentido horário. Se o raio for negativo e o ângulo for positivo, encontre o ponto em que ambos são positivos primeiro e, em seguida, reflita esse ponto no pólo. Se tanto o raio quanto o ângulo forem negativos, encontre o ponto em que o raio é positivo e o ângulo é negativo e, em seguida, reflita isso através do polo.

Mudando de e para polar

Você pode usar coordenadas polares e retangulares para nomear o mesmo ponto no plano de coordenadas. Às vezes é mais fácil escrever uma equação de uma forma que a outra, portanto, isso deve familiarizá-lo com as escolhas e como mudar de uma para outra. Esta figura mostra como determinar a relação entre esses dois métodos não tão diferentes.

Algumas trigonometria do triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras:

Representação gráfica de equações polares

Quando é dada uma equação no formato polar e solicitada a representá-la graficamente, você sempre pode usar o método plug-and-chug: Escolha valores para θ do círculo unitário que você conhece tão bem e encontre o valor correspondente de r . As equações polares têm vários tipos de gráficos, e é mais fácil representá-los se você tiver uma ideia geral de como eles são.

Espiral Arquimediana

r =  fornece um gráfico que forma uma espiral. a é uma constante que multiplica o ângulo. Se a for positiva, a espiral se move no sentido anti-horário, assim como os ângulos positivos. Se a for negativa, a espiral se move no sentido horário.

Cardióide

Você pode reconhecer a palavra cardióide se você já trabalhou e fez o seu cardio. A palavra se relaciona com o coração, e quando você grava um cardióide, parece um tipo de coração. Os cardioides são escritos no formulário.

As equações de cosseno são corações que apontam para a esquerda ou para a direita e as equações de seno se abrem para cima ou para baixo.

Rosa

Uma rosa por qualquer outro nome é… uma equação polar. Se r = a sin  ou r = a cos  , os gráficos parecem flores com pétalas. O número de pétalas é determinado por b . Se b é ímpar, então há b (o mesmo número de) pétalas. Se b é ainda, existem 2 b pétalas.

Círculo

Quando r = a sin θ ou r = a cos θ , você acaba com um círculo com um diâmetro de a. Círculos com cosseno neles estão centralizados no eixo x , e círculos com seno neles estão centralizados no eixo y . Estes são tipos particulares de círculos que passam pela origem.

Lemniscate

Um lemniscate faz um número oito; essa é a melhor maneira de lembrar.

Forma um oito entre os eixos e forma uma figura oito que se encontra em um dos eixos como uma linha de simetria.

Limaçon

Um cardióide é realmente um tipo especial de limaçon, e é por isso que eles se parecem um ao outro quando você faz um gráfico. As formas familiares de limaçons são:

Tipos de funções especiais e seus gráficos

As funções podem ser categorizadas de várias maneiras diferentes. Aqui, você vê as funções em termos das operações que estão sendo executadas. Aqui, no entanto, você vê classificações que funcionam para todos os tipos de funções. Se você sabe que uma função é par ou ímpar ou um-para-um, então você sabe como a função pode ser aplicada e se ela pode ser usada como modelo em uma situação específica. Você terá um heads-up sobre como a função se comporta em diferentes circunstâncias.

Funções pares e ímpares

Saber se uma função é par ou ímpar ajuda você a representá-la graficamente, pois essa informação informa qual metade dos pontos você deve gerar graficamente. Esses tipos de funções são simétricos, portanto, o que aparecer em uma metade é exatamente igual à outra metade. Se uma função é par, o gráfico é simétrico ao longo do eixo y . Se a função for ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem.

  • Função Even: A definição matemática de uma função par é f (- x ) = f ( x ) para qualquer valor de O exemplo mais simples disso é f ( x ) = 2 ; f (3) = 9 e f (–3) = 9. Basicamente, a entrada oposta produz a mesma saída. Visualmente falando, o gráfico é uma imagem espelhada no eixo y .
  • Função ímpar: A definição de uma função ímpar é f (- x ) = – f ( x ) para qualquer valor de A entrada oposta fornece a saída oposta. Esses gráficos têm simetria de 180 graus em relação à origem. Se você virar o gráfico de cabeça para baixo, parece o mesmo. Por exemplo, f ( x ) = 3 é uma função ímpar porque f (3) = 27 e f (–3) = 27.

Funções um-para-um

Uma função é considerada como um para um se cada valor de saída for exclusivo – aparece apenas uma vez no intervalo. Outra maneira de dizer isso é que cada valor de entrada tem exatamente um valor de saída (que é essencialmente a definição de uma função), e cada valor de saída vem exatamente de um valor de entrada. Não há repetições nos valores de saída. Exemplos de funções um-para-um são f ( x ) = 2 3 e

As funções um-para-um são o único tipo de funções que possuem inversos.